พาราโบลา กับ พื้นที่สามเหลี่ยม

วันนี้มีน้องเอาโจทย์นี้มาถาม

The graph of \(y=-x^2+k\)    is shown in the xy-plane above, where \(k\) is a constant. If the area of \(\Delta PQR \)  is \(64\). What is the value of \(k\)?

ซึ่งพี่มองว่าเป็นโจทย์ที่น่าสนใจมาก แอบแฝง เทคนิคการมองโจทย์ ที่ลึกซึ้งไม่ยากจนเกินไป ดูภายนอกน้องๆ หลายคนบอกว่า “มันจะหาคำตอบได้อย่างไร ตัวเลขสักตัวก็ไม่มี รู้แค่พื้นที่สามเหลี่ยม”

วิธีทำ

What is the value of \(k\)? <= ค่า \(k\)  จากสมการ \(y=-x^2+k\) ก็คือ \(Y\) intercept หรือจุดตัดแกน \(Y\) ซึ่งทำหน้าที่เป็นจุดยอดของพาราโบลาตามรูปข้างล่าง และเนื่องจากจุดยอด Vertex และจุดยอดของสามเหลี่ยมเป็นจุดเดียวกันคือจุด \(Q\) ทำให้ได้ว่าพิกัด \((0,k)\) คือพิกัดความสูงของสามเหลี่ยม นั่นคือ สามเหลี่ยม \(\Delta PQR \) จะมีความสูงคือ \(k\)

พิจารณา จุดตัดแกน \(X\) หรือ \(X\) intercept

โดยการแทนค่า \(y=0\) จะได้ว่า \(0=-x^2+k\) หรือ \[x^2=k\] จะได้ว่า \(x=-\sqrt{k}\) และ \(x=\sqrt{k}\)  นั่นคือ พิกัดจุด \(P\) คือ \((-\sqrt{k},0)\) และพิกัดจุด \(R\) คือ \((\sqrt{k},0)\)

จากรูปจะได้ว่า ระยะทาง \(PO\) หรือ \(|PO|=\sqrt{k}\) และ ระยะทาง \(OR\) หรือ \(|OR|=\sqrt{k}\)เพราะฉะนั้น ระยะทาง \(PR\) หรือ \(|PR|\) จะมีค่าเท่ากับระยะทาง \(PO\)  รวมกับระยะทาง \(OR\) ซึ่งก็คือ \[|PR|=|PO|+|OR|=\sqrt{k}+\sqrt{k}=2\sqrt{k}\] ซึ่ง \(|PR|\) ก็คือฐานของรูปสามเหลี่ยม \(\Delta PQR \) จะได้ว่า ฐาน คือ \(2\sqrt{k}\)

ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม \(\Delta PQR \) เท่ากับ \(\frac{1}{2}(\text{ฐาน} (\text{สูง})=\frac{1}{2}(k)(2\sqrt{k})=k\sqrt{k}\) และเนื่องจาก พื้นที่ของสามเหลี่ยม \(\Delta PQR \) เท่ากับ \(64\) แสดงว่า \[k\sqrt{k}=64\] ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ว่า \(k^3=4096\) จากนั้น ถอดรากที่ 3 ทั้งสองข้างจะได้ว่า \(k=16\)

ตอบ \(16\)